수리학 및 수문학_7 베르누이의 정리, 8 역적-운동량 방정식, 9 오리피스

7 베르누이의 정리

1. Bernoulli의 정리

비압푹성 완전 유체에서 유선상의 장에 관계 없이 액체의 단위체적이 갖는 전에너지는 일정하다. 

총수두 H₁ = V₁²/2g + P₁/w + z₁ = V₂²/2g + P₂/w + z₂ = const(일정)

V²/2g : 속도수두

P/w : 압력수두

z : 위치수두

 H = V²/2g + P/w + z 에 w를 곱하여 주면 (∵ w=ρg)

= wV²/2g + P + wz = (1/2)ρV² + P + ρgz

 wV²/2g = (1/2)ρV² : 동압력

P : 정압력

ρgz : 위치압력

 

(1) 에너지선 energy line

V²/2g + P/w + z  = const(일정)

에너지 경사 : I = hL/l

 

(2) 동사경사선

P/w + z  = const(일정)

동수경사 : I=-h‘L/l

 

2. 베르누이 정리의 응용

Torricelli의 정리 : 1643년  Torricelli가 실험결과를 통해 Bernoulli의 정리보다 먼저 발표한 것이므로 Torricelli의 정리라 한다. 

피토관(Pitot tube) : Bernoulli의 정리를 응용하여 유속을 측정하는 계기

벤추리미터(Venturi meter) : 정상관로부분과 수축부의 압력차 h를 측정하여 유량을 측정하는 계기

 

8 역적-운동량 방정식

1. 운동량과 역적

1차원 정상류(steady Flow)의 흐름에서 짧은 시간 Δt 사이에 흐름의 유속이 V₁에서 V₂로 변했을 때 질량 m인 유체에 작용한 외력의 힘

F=m*ΔV/Δt=m(V₂ - V₁)/Δt

F*Δt=m(V₂ - V₁)=m*ΔV

F*Δt : 역적(impulse)

m*ΔV : 운동량(momentum)

 

단위시간당 운동량방정식

F=wQ(V₂ - V₁)/g

V₁ : 유입속도

V₂ : 유출속도

 

2. 정지판에 미치는 충격력

(1) 정지판에 직각으로 충돌하는 경우 

F=wQ(V₂ - V₁)/g = wAV²/g = wAV(V-u)/g

 

(2) 정지판에 경사지게 충돌하는 경우

F=wQVsinθ/g = wAV²sinθ/g

 

(3) 정지한 곡면에 작용하는 힘(θ < 90°)

Fx = wQ(V₁-V₂cosθ)/g

Fy = wQ(V₂sinθ-V₁)/g

충격력 F=√Px²+Py²

 

3. 항력 drag force

유수 중의 물체에 작용하는 힘은 두 성분으로 나눌 수 있으며 흐름방향에 작용하는 힘을 항력이라 한다. 

D = (24/Re)*A*(ρV²/2) = CD*A*(ρV²/2)

A : 흐름방향의 물체 투영면적

 

9 오리피스

1. 오리피스 orifice

(1) 작은 오리피스 : 오리피스 상하 끝의 압력차가 작은 상태이다. 

즉, H > 5d

H : 오리피스 중심에서 수면까지의 수두

d : 오리피스 지경

 

(2) 큰 오리피스 : 오리피스의 형상과 관계없이 오리피스 단면의 높이가 수두의 1/5(H < 5d)보다 크면 큰 오리피스다. 

 

orifice

큰 오리피스	작은 오리피스
H > 5d (d : 직경) 오리피스 상하단의 압력차 고려	5d < H (수두) 오리피스 상하단의 압력차 무시

(3) 수축단면 : 오리피스로부터 약 (1/2)d인 지점에 유출수의 단면이 축소되었다가 다시 커져 낙하하게 될 때 이 축소된 단면을 수축단면(vena contracta)이라 한다. 

 

2. 오리피스 유량

유속 V = Cv√2gh

작은 오리피스 유량 Q = Ca*a*Cv√2gh = Ca√2gh 

큰 오리피스 유량 Q = (2/3)Cb√2g(H₂^(3/2) - H₁^(3/2))

a : 오리피스 단면적

Cv : 유속계수

Ca : 수축계수

C = Ca*Cv : 유량계수

 

완전 수중 오리피스 : Q = Ca√2g(h₁ - h₂)

관 오리피스와 관 노즐 : Q = C*a√(2gh/(1-(C*a/A)²)) = C*(πd²/4)√(2gh/(1-C²*(d/D))) 

오리피스의 배수시간 : T = (2A/Ca√2g)(√h₁ - √h₂)

오리피스의 손실수두 : 

Δh = H - v²/2g = (1/Cv²)*(v²/2g) - v²/2g = (1/Cv² - 1)*v²/2g = (1/Cv² - 1)*(Cv²*2gH)/2g

= (1 - Cv²/Cv²)*(Cv²*2gH/2g) = (1 - Cv²)H

오리피스의 유량오차

 Q = CA√2gH^(1/2)에서 

∴ dQ/Q = (1/2)dh/H